Un cours de mathématiques du Collège au Lycée

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\Collège\Quatrième\Algébre\Puissances.

Puissances. Notation scientifique.


1. Puissances entières d’un nombre relatif.

1.1. Définition.

Définition : Soit a un nombre quelconque, on écrit pour tout entier n supérieur à 1 :

Par convention, pour a non nul, a0 = 1.

En clair, le produit de n facteurs égaux à a est noté an, et on lit « a puissance n ». an est appelé une puissance du nombre a. Le nombre n est appelé exposant.

Exemple :  ;

 ;

A ne pas confondre avec :  ;

.

Remarques importantes :

  • Dès que a est non nul, l’inverse de an existe et vaut . On le notera a-n. On peut donc considérer que l’écriture an est valable pour tout entier relatif n, dès que a est non nul.

  • Attention ! L’écriture désigne l’opposé du carré de 5 et non le carré de –5. Le carré de –5 s’écrit : . Il ne faut pas oublier les parenthèses lorsque l’on prend la puissance d’un nombre négatif.

  • La puissance paire d’un nombre négatif est toujours positive.

  • La puissance impaire d’un nombre négatif est toujours négative.


1.2. Règles de calcul.

Propriétés : Soit a et b deux nombres non nuls.
Pour tous les nombres relatifs m, n :

Exemples :

Remarque : Attention ! Il n’existe aucune formule avec l’addition :

n’est pas égal à , mais à .

n’est pas égal à , mais à .


2. Cas particulier important des puissances entières relatives de 10.

2.1. Définition.

Remarque : Pour tout entier n supérieur à 1, on écrit :


Par convention 100 = 1.

Exemples : Voici quelques valeurs de puissances de 10 portées dans le tableau suivant :

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

Remarque : et sont des nombres inverses. On peut donc considérer que l’écriture est valable pour tout entier relatif n.

2.2. Règles de calcul.

Propriétés : Pour tous les nombres relatifs m, n :

Exemples :


3. Notation scientifique d’un nombre. Autres notations.

Définition : La notation scientifique d’un nombre décimal non nul est son écriture de la forme , où a est un décimal qui a un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemples :  ;

.

Remarque : On détermine un ordre de grandeur d’un nombre en le plaçant entre deux puissances de dix consécutives. On choisit alors la plus proche du nombre, comme ordre de grandeur.

Exemples : a pour ordre de grandeur  ;

a pour ordre de grandeur .

Remarque : Il existe d’autres notations d’un décimal utilisant les puissances de 10, en particulier la notation ingénieur.


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