Un cours de mathématiques du Collège au Lycée

Un cours de mathématiques du Collège au Lycée

Me contacter

Imprimer le cours


sur mathox.net sur le web
\Collège\Cinquième\Géometrie\Des angles.

Autour des angles

 

1. Généralités.

1.1. Quelques rappels de Sixième.

1.1.1. Définition d'un angle.

Définition : Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. Cette origine est appelé le sommet de l'angle. Les demi-droites sont appelés les côtés de l'angle.



Angle

Remarque: Un angle se désigne toujours par trois lettres.

1.1.2. Mesure d'un angle.

L'unité de mesure des angles est le degré (noté °). L'instrument de mesure est le rapporteur. La mesure de l'angle se note .

En général, on confond l'angle et sa mesure.

Exemple:

En théorie, on écrit: .

En pratique, et par abus, on écrit: .

1.1.3. Classification des angles.

1.1.3.1. Angle rentrant. Angle saillant.

Angles saillants:

Un angle saillant est un angle compris entre l'angle nul et l'angle plat (voir ci-dessous).

La mesure d'un angle saillant est comprise entre 0° et 180°.

Angles rentrants:

Un angle rentrant est un angle compris entre l'angle plat et l'angle plein.

La mesure d'un angle rentrant est comprise entre 180° et 360°.

Remarque: La limite entre un angle saillant et un angle rentrant est l'angle plat (voir figure ci dessous)

1.1.3.2. Classification des angles saillants.

Un angle saillant peut être:

- un angle nul

La mesure d'un angle nul est de 0°.

- un angle aigu

Un angle aigu est compris entre un angle nul et un angle droit. Sa mesure est donc comprise entre 0° et 90°

- un angle droit

Un angle droit mesure 90°

- un angle obtus

Un angle obtus est compris entre un angle droit et un angle plat. Sa mesure est donc comprise entre 90° et 180°

- un angle plat



Un angle plat mesure 180°.

Remarque: Un angle saillant est donc un angle dont la mesure est inférieure ou égale à 180° et un angle rentrant est un angle dont la mesure est supérieure ou égale à 180°.

Un angle aigu a sa mesure comprise entre 0 et 90° et un angle obtus mesure entre 90° et 180°.

1.1.4. Bissectrice d'un angle.

Définition: La bissectrice d'un angle est la demi-doite qui partage un angle en deux angles de même mesure.

Exemple:

[Oz) est la bissectrice de l'angle . On a: .

Savoir construire la bissectrice d'un angle avec un compas:

























Remarque: Pendant toute la construction, on garde la même ouverture de compas.

Propriété (admise): La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.

1.2. Symétrique d'un angle par rapport à un point.

Propriété (admise): Deux angles symétriques par rapport à un point ont la même mesure.

Conséquence: Si deux droites sont perpendiculaires, alors leurs symétriques par rapport à un point sont perpendiculaires.


2. Des couples d'angles remarquables.

2.1. Angles opposés par le sommet.

Définition: On dit que deux angles sont opposés par le sommet lorsque:

  • ils ont le même sommet;

  • leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.

Propriété: Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

2.2. Angles adjacents.

Définition: On dit que deux angles sont adjacents lorsque:

  • ils ont le même sommet;

  • ils ont un côté commun;

  • ils sont de part et d'autre de ce côté commun.

Exemple:

Les angles â et ê sont des angles adjacents

Contre-exemples:

ê et â ne sont pas adjacents car ils ne sont pas de part et d'autre du côté commun aux deux angles.

ê et â ne sont pas adjacents car leurs sommets ne sont pas identiques.

2.3. Angles complémentaires. Angles supplémentaires.

2.3.1. Angles complémentaires.

Définition: Deux angles dont la somme des mesures est égale à 90° sont dits complémentaires.

Remarque: Deux angles complémentaires ne sont pas nécessairement adjacents.

Exemple:

2.3.2. Angles supplémentaires.

Définition: Deux angles dont la somme des mesures est égale à 180° sont dits supplémentaires.

Remarque: Deux angles supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents.

Exemple:

2.4. Angles et droites parallèles coupées par une sécante.

2.4.1. Définitions.

2.4.1.1. Angles alternes-internes.

Sur la figure, les angles â et î sont des angles alternes-internes, ainsi que les angles ê et ô.

Deux angles alternes-internes sont tels que:

    • ils sont situés à l'intérieur de la bande de plan formée par les droites d et d'

    • ils sont de part et d'autres de .

2.4.1.2. Angles correspondants.

Sur la figure, les angles sont des angles correspondants.

Deux angles correspondants sont tels que:

    • ils sont du même côté de .

    • l'un est situé entre d et d', et l'autre à l'extérieur de d et d'

    • les deux ont l'un de leur côté situé sur , l'autre côté étant pour l'un sur d et pour l'autre sur d'.


2.4.1.3. Angles alternes-externes (à titre culturel, hors-programme de 5e).

Sur la figure, les angles â et â' sont des angles alternes-externes, ainsi que les angles ê et ê'.

Deux angles alternes-externes sont tels que:

    • ils sont situés à l'extérieur de la bande de plan formée par les droites d et d'

    • ils sont de part et d'autres de .

2.4.2. Propriétés.

2.4.2.1. Propriétés directes.

Propriétés:
Soient deux droites d et d' coupées par une sécante.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles correspondants sont de même mesure.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles alternes-externes sont de même mesure.

2.4.2.2. Propriétés réciproques.

Propriétés:
Soient deux droites d et d' coupées par une droite .
Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.
Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.
Si deux angles alternes-externes ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.




\Collège\Cinquième\Géometrie\Des angles.