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Un cours de mathématiques du Collée au Lycée |
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Symétrie centrale et parallélogrammes
1. Définition.
Définition: On appelle parallélogramme un quadrilatère ayant ses deux paires de côtés opposés parallèles.
Remarque: Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze (quadrilatère ayant une paire de côtés parallèles)
2. Propriétés.
2.1. Centre de symétrie d'un parallélogramme.
Propriété: Un parallélogramme admet un centre de symétrie: le point d'intersection de ses diagonales.
2.2. Conséquences.
Propriété:Dans un parallélogramme:
- les côtés opposés ont même longueur
- les diagonales se coupent en leur milieu
- les angles opposés ont même mesure
- deux angles consécutifs sont supplémentaires (la somme de leur mesure fait 180°)
3. Conditions pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.
Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a des côtés opposés deux à deux de même longueur est un parallélogramme.
Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.
Propriété: Un quadrilatère qui a des diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme.
Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a des angles opposés de même mesure est un parallélogramme.
4. Parallélogrammes particuliers.
4.1. Losange
Définition: On appelle losange un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur.
Propriété: Un losange possède des diagonales perpendiculaires.
Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales perpendiculaires est un losange.
4.2. Rectangle
Définition: On appelle rectangle un quadrilatère ayant quatre angles droits.
Propriété: Un rectangle possède des côtés opposés parallèles, de même longueur deux à deux et des diagonales de même milieu et de même longueur.
Propriété caractéristique: Un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.
Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.
Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur est un rectangle.
4.3. Carré
Définition: On appelle carré un quadrilatère ayant quatre angles droits et des côtés de même longueur.
Remarque: Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Propriété: Un carré possède des côtés de même longueur, quatre angles droits, des diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires.
Propriété caractéristique: Un losange ayant un angle droit est un carré.
Propriété caractéristique: Un losange ayant des diagonales de même longueur est un carré.
Propriété caractéristique: Un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.
Propriété caractéristique: Un rectangle ayant des diagonales perpendiculaires est un carré.
Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur et perpendiculaires est un carré.
En résumé: