Un cours de mathématiques du Collège au Lycée

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\Collège\Cinquième\Géometrie\Des parallélogrammes.

Symétrie centrale et parallélogrammes


1. Définition.

Définition: On appelle parallélogramme un quadrilatère ayant ses deux paires de côtés opposés parallèles.

Remarque: Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze (quadrilatère ayant une paire de côtés parallèles)


2. Propriétés.

2.1. Centre de symétrie d'un parallélogramme.

Propriété: Un parallélogramme admet un centre de symétrie: le point d'intersection de ses diagonales.

2.2. Conséquences.

Propriété:Dans un parallélogramme:

  • les côtés opposés ont même longueur
  • les diagonales se coupent en leur milieu
  • les angles opposés ont même mesure
  • deux angles consécutifs sont supplémentaires (la somme de leur mesure fait 180°)

 

3. Conditions pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.

Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a des côtés opposés deux à deux de même longueur est un parallélogramme.


Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.


Propriété: Un quadrilatère qui a des diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme.


Propriété: Un quadrilatère non croisé qui a des angles opposés de même mesure est un parallélogramme.

 

4. Parallélogrammes particuliers.

4.1. Losange

Définition: On appelle losange un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur.


Propriété: Un losange possède des diagonales perpendiculaires.


Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.


Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales perpendiculaires est un losange.

4.2. Rectangle

Définition: On appelle rectangle un quadrilatère ayant quatre angles droits.


Propriété: Un rectangle possède des côtés opposés parallèles, de même longueur deux à deux et des diagonales de même milieu et de même longueur.


Propriété caractéristique: Un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.


Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.


Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur est un rectangle.

4.3. Carré

Définition: On appelle carré un quadrilatère ayant quatre angles droits et des côtés de même longueur.

Remarque: Un carré est à la fois un losange et un rectangle.


Propriété: Un carré possède des côtés de même longueur, quatre angles droits, des diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires.


Propriété caractéristique: Un losange ayant un angle droit est un carré.


Propriété caractéristique: Un losange ayant des diagonales de même longueur est un carré.


Propriété caractéristique: Un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.


Propriété caractéristique: Un rectangle ayant des diagonales perpendiculaires est un carré.


Propriété caractéristique: Un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur et perpendiculaires est un carré.




En résumé:


\Collège\Cinquième\Géometrie\Des parallélogrammes.