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Un cours de mathématiques du Collée au Lycée |
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Des racines carrées.
1. Généralités.
1.1. Introduction et définition des racines carrées.
Définition : 1. Lorsque a
est un nombre positif,
,
qu'on lit "racine carrée de a", désigne le
seul nombre positif dont le carré est égal à a.
2. Le symbole
est
appelé "radical".
Remarques :
1. Si a est négatif, l’écriture
n’a
pas de sens.
2. Si
existe, cette écriture comporte trois informations très
importantes :
;
;
1.2. Calcul d’une racine carrée.
1.2.1. Calcul de tête.
-
a
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.2.2. A la calculatrice.
Calcul de
:
On tape 18,49
Affichage :
4,3
On écrit alors
(valeur
exacte).
Calcul de
:
On tape 2
Affichage :
1,41421356237…
On écrit alors
(valeur approchée).
2. Equations du type x² = a.
Règle :
L’équation x² = a admet :
- si a < 0, aucune solution.
- si a = 0, une seule solution : 0.
- si a > 0, deux solutions :
et
.
3. Règles de calcul avec les racines carrées.
3.1 Produits et puissances de racines carrées.
Propriété : Pour a et b positifs ou nuls, on a :
Exemples : - Simplifier
.
.
- Simplifier
.
.
- Simplification d’écriture: pour
,
et
,
.
Simplifier
:
Simplifier
:
3.2. Quotients de deux racines carrées.
Propriété : Pour a positif ou nul et b strictement positif, on a :
.
Exemple :
.
Savoir: Eviter un radical au dénominateur.
Méthode:Afin de
pouvoir facilement calculer des valeurs approchées, il est
plus facile d'avoir les radicaux au numérateur qu'au
dénominateur. Pour cela, on se souviendra que, pour
:
3.3. Somme et différence de deux racines carrées.
Attention : Dans le cas général, il n'existe pas de formule avec l'addition et la soustraction.
En particulier
Exemple:
et
n'est pas égal à 1 + 2 = 3