Avec des coordonnées.

Définition : Une droite sur laquelle on a choisi un point origine, une unité de longueur et un sens de parcours s’appelle une droite graduée (ou axe).

Sur un axe, le nombre associé à un point s’appelle l’abscisse de ce point.

Définition: On appelle repère du plan, la donnée de deux axes sécants en leur origine. On note un tel repère (O,I,J), où O correspond à l'origine des axes, I est le point correspondant à l'unité sur le premier axe, J est le point correspondant à l'unité sur le deuxième axe.

Définitions. Notations: On munit le plan d'un repère (O,I,J). Chaque point M du plan est repéré par un couple de nombres appelé coordonnées du point, la première des coordonnées est appelée abscisse du point, traditionnellement noté , la deuxième est appelée ordonnée du point, traditionnellement noté . On note alors .

Définitions : On appelle repère orthogonal un repère dont les axes sont perpendiculaires. On appelle repère orthonormal, un repère orthogonal dont les axes sont munis de la même unité de longueur.

Exemple : A a pour coordonnées (3 ; -1). 3 est l’abscisse de A et –1 l’ordonnée de A.

Lecture graphique des coordonnées d'un vecteur:

Définition: On munit le plan d'un repère (O,I,J). Soit un vecteur de ce plan. Ce vecteur est parfaitement définit par la donnée d'un couple de nombres: le premier correspond à l'abscisse du vecteur et le deuxième à l'ordonnée du vecteur. Si on note ce vecteur et ses coordonnées, on notera de manière synthétique: .

Remarque: On compte positivement lorsqu'on parcourt l'axe des abscisses (ou celui des ordonnées) dans son sens de parcours, négativement si on le parcourt en sens inverse.

Exemple: ; ; ; . Le vecteur est un autre représentant du vecteur , ses coordonnées sont donc identiques.

Représentation d'un vecteur dont on connaît les coordonnées:

Lorsque l'on connait les coordonnées d'un vecteur, on peut en tracer un représentant dans un repère.

Exemple:Soit. Tracer un représentant du vecteur d'origine , puis d'origine .

Théorème: Soit A et B deux points de coordonnées respectives et , alors le vecteura pour coordonnées .

Exemples :

M (2 ;-3) et N (3 ;-1) :

M (2 ;5) et N (1 ;0) :

Théorème: Dans le plan muni d'un repère, le milieu d'un segment a pour abscisse la demi-somme des abscisses des extrémités du segment et pour ordonnée la demi-somme des ordonnées des extrémités du segment.

Milieu d’un segment :
Soit le milieu d’un segment [AB]. Soit et les coordonnées respectives de A et B. On a :
                                                   

Théorème: On muni le plan d’un repère orthonormal. Soit A et B deux points de coordonnées respectives et , on a :
                                                                        .
D’où: .