Autour des angles

Définition : Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. Cette origine est appelé le sommet de l'angle. Les demi-droites sont appelés les côtés de l'angle.

Remarque: Un angle se désigne toujours par trois lettres.

L'unité de mesure des angles est le degré (noté °). L'instrument de mesure est le rapporteur. La mesure de l'angle se note .

En général, on confond l'angle et sa mesure.

Exemple:

En théorie, on écrit: .

En pratique, et par abus, on écrit: .

Angles saillants: Un angle saillant est un angle compris entre l'angle nul et l'angle plat (voir ci-dessous). La mesure d'un angle saillant est comprise entre 0° et 180°.		Angles rentrants: Un angle rentrant est un angle compris entre l'angle plat et l'angle plein. La mesure d'un angle rentrant est comprise entre 180° et 360°.

Remarque: La limite entre un angle saillant et un angle rentrant est l'angle plat (voir figure ci dessous)

Un angle saillant peut être:

- un angle nul		La mesure d'un angle nul est de 0°.
- un angle aigu		Un angle aigu est compris entre un angle nul et un angle droit. Sa mesure est donc comprise entre 0° et 90°
- un angle droit		Un angle droit mesure 90°
- un angle obtus		Un angle obtus est compris entre un angle droit et un angle plat. Sa mesure est donc comprise entre 90° et 180°
- un angle plat		Un angle plat mesure 180°.

Remarque: Un angle saillant est donc un angle dont la mesure est inférieure ou égale à 180° et un angle rentrant est un angle dont la mesure est supérieure ou égale à 180°.

Un angle aigu a sa mesure comprise entre 0 et 90° et un angle obtus mesure entre 90° et 180°.

Définition: La bissectrice d'un angle est la demi-doite qui partage un angle en deux angles de même mesure.

Exemple:

[Oz) est la bissectrice de l'angle . On a: .

Savoir construire la bissectrice d'un angle avec un compas:

Remarque: Pendant toute la construction, on garde la même ouverture de compas.

Propriété (admise): La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.

Propriété (admise): Deux angles symétriques par rapport à un point ont la même mesure.

Conséquence: Si deux droites sont perpendiculaires, alors leurs symétriques par rapport à un point sont perpendiculaires.

Définition: On dit que deux angles sont opposés par le sommet lorsque:

• ils ont le même sommet;

• leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.

Propriété: Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Définition: On dit que deux angles sont adjacents lorsque:

• ils ont le même sommet;

• ils ont un côté commun;

• ils sont de part et d'autre de ce côté commun.

Exemple:

Les angles â et ê sont des angles adjacents

Contre-exemples:

ê et â ne sont pas adjacents car ils ne sont pas de part et d'autre du côté commun aux deux angles.
	ê et â ne sont pas adjacents car leurs sommets ne sont pas identiques.

Définition: Deux angles dont la somme des mesures est égale à 90° sont dits complémentaires.

Remarque: Deux angles complémentaires ne sont pas nécessairement adjacents.

Exemple:

Définition: Deux angles dont la somme des mesures est égale à 180° sont dits supplémentaires.

Remarque: Deux angles supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents.

Exemple:

Sur la figure, les angles â et î sont des angles alternes-internes, ainsi que les angles ê et ô.

Deux angles alternes-internes sont tels que:

• ils sont situés à l'intérieur de la bande de plan formée par les droites d et d'

• ils sont de part et d'autres de .

Sur la figure, les angles sont des angles correspondants.

Deux angles correspondants sont tels que:

• ils sont du même côté de .

• l'un est situé entre d et d', et l'autre à l'extérieur de d et d'

• les deux ont l'un de leur côté situé sur , l'autre côté étant pour l'un sur d et pour l'autre sur d'.

Sur la figure, les angles â et â' sont des angles alternes-externes, ainsi que les angles ê et ê'.

Deux angles alternes-externes sont tels que:

• ils sont situés à l'extérieur de la bande de plan formée par les droites d et d'

• ils sont de part et d'autres de .
  

Propriétés:
Soient deux droites d et d' coupées par une sécante.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles correspondants sont de même mesure.
Si les droites d et d' sont parallèles, alors deux angles alternes-externes sont de même mesure.

Propriétés:
Soient deux droites d et d' coupées par une droite .
Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.
Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.
Si deux angles alternes-externes ont la même mesure, alors d et d' sont parallèles.